sin(x) 和 x 为什么能比较大小？

因为角度也是一个实数

相信题主已经知道度量角的大小，常见的度量方法有角度制与弧度制两种。

所谓角度制，就是将圆周 360 等分，其中 1 份所对应的圆心角定义为 1 度，记作 1°。并将 1 度的 1/60 定义为 1 分，记作 1'；将 1 分的 1/60 定义为 1 秒，记作 1"。换言之，1°＝60'，1'＝60"。

上述是现行初中数学的内容，题主也应该很熟悉。

而弧度制则是根据圆心角、弧长、半径之间的数量关系而引入的。

设弧长为 l ，半径为 r ，所对应的圆心角为 n° ，则

l=\frac {n }{360}\cdot 2\pi r \Rightarrow \frac {l}{r}=n\cdot \frac {\pi}{180} 。

由上述推导可知，弧长与半径的比值至于所对应的圆心角有关。当 n 为定值时，比值 l/r 也为定值。于是，我们可以利用「弧长与半径的比值」来表示角的大小。

我们可以定义：当弧长等于半径时，弧所对应的圆心角为 1 弧度，记作 1rad。

由上述讨论可知，弧度制本质上相当于用实数（两个长度的比值）来表示角的大小。从纯数学的观点看，后面不加单位（也可以认为单位是 1）也是理所应当的，单位 rad 纯属冗余。所谓「弧度（rad）」的引入，则仅仅是为了类比于「度（°）」，人为添加以突出这是用来度量角的单位。这种表示，用于弧度制与角度制之间换算，从形式上比较方便、美观；即便是工程、技术、测量等行业，也不容易同其他的无量纲量相互混淆，引起歧义。

既然我们可以用实数表示角的大小，那么角度与正弦值之间的映射，可以表示成实数与实数之间的映射 x\rightarrow \sin x 。从这个意义上， \sin x 与 x 之间当然也可以比较大小。